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座屈長さ0.7Lの導出

建築構造

0.7の謎

一方を固定端、他方を鉛直ローラー支持とする部材の座屈長さは部材長さの0.7倍となる。

導出

部材がうける力は下図の通り。

固定端を原点として材軸方向に $x$ 軸を設定し、たわみを $y\left(x\right)$ とする。また、水平外力の大きさを $Q$ 、鉛直外力の大きさを $P$ とする。曲げモーメント分布 $M\left(x\right)$ は

$\displaystyle M\left(x\right) = -P y\left(x\right) - Q \left(L - x\right)$

である。これが

$\displaystyle M\left(x\right) = EIy^{\prime\prime}\left(x\right)$

と等しいので、微分方程式

$\displaystyle y^{\prime\prime}\left(x\right) + \frac{P}{EI}y\left(x\right) = -\frac{Q}{EI}\left(L - x\right)$

が成り立つ。特殊解は

$\displaystyle y_p\left(x\right) = -\frac{Q}{P}\left(L - x\right)$

であり、余解は

$\displaystyle y_c\left(x\right) = C_1\cos{kx} + C_2\sin{kx}$

である。ただし、 $C_1$ および $C_2$ は定数であり

$\displaystyle k = \sqrt{\frac{P}{EI}}$

である。境界条件

$\displaystyle y\left(0\right) = y^\prime\left(0\right) = y\left(L\right) = 0$

より

$\displaystyle kL\cos{kL} - \sin{kL} = 0$

が得られる。

$\displaystyle f\left(\theta\right) = \theta\cos{\theta} - \sin{\theta}$

とおくと、 $\theta > 0$ の範囲で $f\left(\theta\right) = 0$ となる最小の $\theta$ のときに座屈する。数値計算によりそのときの $\theta$ を求めると

$\displaystyle \theta_0 \simeq 4.49 \simeq \frac{\pi}{0.7}$

となる。座屈荷重 $P_{cr}$ は $kL = \theta_0$ のときの $P$ であるから

$\displaystyle \sqrt{\frac{P_{cr}}{EI}}L = \frac{\pi}{0.7}$

$\displaystyle \therefore P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{\left(0.7L\right)^2}$

と求まる。オイラー座屈荷重

$\displaystyle P_e = \frac{\pi^2 EI}{L^2}$

と比較すると、座屈長さは $0.7L$ である。